哈恩巴拿赫定理证明

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过年在家出于兴趣阅读了一些金融相关的书籍，其中提到了很多数学原理，作为一个数学系的学生，我觉得非常的有趣，感受到了数学在真实生活中的应用。

在这些内容中，有一部分涉及到了我在上一个学期在泛函分析中的一个定理：Hahn-Banach Theorem(English) 即 哈恩-巴拿赫定理(中文) 。这个定理被称为泛函分析三大定理之一，是泛函分析中极为重要的一个工具。在经济学中 Hahn-Banach Theorem 与市场经济的福利经济学第二定理有着密切的关系。

在假期中想到这个定理，但是记不得定理的证明了，在 Google 上搜索了许多，但是关于这个定理的中文资料很少，而且大部分都是定理的应用。于是回到学校之后参考老师的讲义，将这个定理的证明记录下来。并不是说我自己对掌握这个定理的证明有多大的执念，只是想留下这一篇 Post 来提示自己好好学习数学，诸多学科都会要求一定的数学功底。

正文

引理  设 ff 是赋范空间 XX 上的有界泛函，令 φ(x)=Ref(x)\varphi (x)=Ref(x) ，则 φ(x)\varphi (x) 是 XX 上的有界线性泛函且

f(x)=φ(x)−iφ(ix),∣∣φ∣∣≤∣∣f∣∣.f(x)=\varphi (x)-i\varphi (ix), || \varphi ||\le ||f||.

证明  设 f(x)=φ(x)−iψ(ix)f(x)=\varphi (x)-i\psi (ix) ，这里 φ(x),ψ(x)\varphi (x), \psi (x) 分别是 f(x)f(x) 的实部与虚部。显然 φ,ψ\varphi , \psi 是实线性泛函。

φ(ix)+iψ(ix)=f(ix)=if(x)=iφ(x)−ψ(x).\varphi (ix)+i\psi (ix)=f(ix)=if(x)=i\varphi (x)-\psi (x).

故

φ(ix)=−ψ(x)\varphi (ix)=-\psi (x)

因此

f(x)=φ(x)−iφ(ix).f(x)=\varphi (x)-i\varphi (ix).

∣φ(x)∣=∣Ref(x)∣≤∣f(x)∣≤∣∣f∣∣∣∣x∣∣|\varphi (x)|=|Ref(x)|\le |f(x)|\le ||f||||x||

故 ∣∣φ∣∣≤∣∣f∣∣.||\varphi||\le ||f||.

定理  设 MM 是线性空间 XX 的子空间，ff 是 MM 上的线性泛函，pp 是 XX 上的半范数，对 x∈Mx\in M，有 ∣f(x)∣≤p(x)|f(x)|\le p(x)，则 ff 可以延拓为 XX 上的线性泛函 FF 且对任意 x∈Xx\in X，有 ∣F(x)∣≤p(x)|F(x)|\le p(x).

证明  若标量域 K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ，由于 pp 是次可加正齐次泛函，故存在 FF 是 XX 上的线性泛函，是 ff 的延拓.

则

−p(x)=−p(−x)≤−F(−x)=F(x)≤p(x)-p(x)=-p(-x)\le -F(-x)=F(x)\le p(x)

故 ∣F(x)∣≤p(x).|F(x)|\le p(x).

若标量域 K=C\mathbb{K}=\mathbb{C} ，令 φ0=Ref{\varphi}_0=Ref 是 MM 上的实线性泛函且 ∣∣φ0∣∣≤∣f(x)∣≤p(x)||{\varphi}_0||\le |f(x)|\le p(x). 故存在 φ0{\varphi _0}在 XX 上的延拓 φ\varphi ，使得 φ(x)≤p(x)\varphi (x)\le p(x).

作 F(x)=φ(x)−iφ(ix)F(x)=\varphi (x)-i\varphi (ix) ，则 FF 是 ff 在 XX 上的延拓且复线性泛函：

F(ix)=φ(ix)−iφ(−x)=iF(x).F(ix)=\varphi (ix)-i\varphi (-x)=iF(x).

由于存在单位复数 β\beta ，使得 ∣F(x)∣=βF(x)|F(x)|=\beta F(x). 故

∣F(x)∣=βF(x)=F(βx)=φ(βx)≤p(βx)=∣β∣p(x)=p(x).|F(x)|=\beta F(x)=F(\beta x)=\varphi (\beta x)\le p(\beta x)=|\beta|p(x)=p(x).

定理  设 GG 是赋范空间 XX 的线性子空间，ff 是 GG 上的有界线性泛函，则存在 XX 上的线性泛函 FF 是 ff 的延拓且 ∣∣F∣∣=∣∣f∣∣||F||=||f||.

证明  记 p(x)=∣∣f∣∣⋅∣∣x∣∣p(x)=||f||·||x|| 是 XX 上的半范数且 ∣f(x)∣≤p(x)|f(x)|\le p(x). 故存在 XX 上的线性泛函 FF 是 ff 的延拓，使得 ∣F(x)∣≤p(x)=∣∣f∣∣⋅∣∣x∣∣|F(x)|\le p(x)=||f||·||x||. 故 ∣∣F∣∣≤∣∣f∣∣||F||\le ||f||.

显然

∣∣F∣∣=supx≠0∣F(x)∣∣∣x∣∣≥supG∋x≠0∣f(x)∣∣∣x∣∣=∣∣f∣∣.||F||=sup_{x\ne 0}\frac{|F(x)|}{||x||}\ge sup_{G\ni x\ne0}\frac{|f(x)|}{||x||}=||f||.

故 ∣∣F∣∣=∣∣f∣∣||F||=||f||.

定理  设 GG 是赋范空间 XX 的线性子空间，x0∈Xx_0 \in X，d≜inff∈G∣∣x0−y∣∣>0d\triangleq inf_{f\in G}||x_0-y||>0，则存在 f∈X∗f\in X^*，使得对 x∈Gx\in G，有 f(x)=0;f(x0)=d;∣∣f∣∣=1f(x)=0; f(x_0)=d; ||f||=1.

证明  显然 x0∉Gx_0\notin G. 记 G1=αx0+x ∣ x∈G,α∈KG_1={\alpha x_0 + x\ |\ x\in G, \alpha \in \mathbb{K}} 是线性子空间。

作 g:G1∋αx0+x↦αd∈Kg:G_1\ni \alpha x_0 + x\mapsto \alpha d\in \mathbb{K} 是线性泛函。

对 x∈Gx\in G，有 g(x)=0;g(x0)=dg(x)=0; g(x_0)=d;

∣g(αx0+x)∣=∣α∣d≤∣α∣⋅∣∣x0−(−x)/α∣∣=∣∣αx0+x∣∣|g(\alpha x_0+x)|=|\alpha|d\le |\alpha|·||x_0-(-x)/\alpha||=||\alpha x_0+x||

故

∣∣g∣∣≤1||g||\le 1

d=g(x0)=g(x0−x)≤∣∣g∣∣∣∣x0−x∣∣d=g(x_0)=g(x_0-x)\le ||g||||x_0-x||

故

d≤∣∣g∣∣infx∈G∣∣x0−x∣∣=∣∣g∣∣dd\le ||g||inf_{x\in G}||x_0-x||=||g||d

故 1≤∣∣g∣∣1\le ||g||

因此 ∣∣g∣∣=1||g||=1.

存在 gg 的延拓 f∈X∗f\in X^*，使得 ∣∣f∣∣=∣∣g∣∣=1||f||=||g||=1.

推论  设 XX 是赋范线性空间，x0∈X,x0≠0x_0\in X, x_0 \ne 0，则存在 f∈X∗f\in X^*，使得 f(x0)=∣∣x0∣∣f(x_0)=||x_0|| 且 ∣∣f∣∣=1||f||=1.

推论  设 XX 是赋范线性空间，x∈Xx\in X，则 ∣∣x∣∣=supf∈X∗∣f(x)∣∣∣f∣∣||x||=sup_{f\in X^*}\frac{|f(x)|}{||f||}.

其他

泛函分析在经济学中的应用很广泛，更多内容可以参考知乎的问题 https://www.zhihu.com/question/31913447/answer/53821730。